Parte 2:

Emergencia, Maxima Complejidad, Criticalidad Autoorganizada, Autopoiesis, o...

                                           El Borde del Caos:

                        -esta zona de transicion es matematicamente ocupada por la Proporcion Aurea.

Conseptos preliminares:

Ferroimán de Heisenberg:

   Un imán consta de gran cantidad de pequeños dominios magnéticos, que para nuestros propósitos podemos imaginar que son como pequeñas agujas de brújula, pequeños imanes en forma de barra que giran libremente en todas direcciones, aislados del campo magnético de la tierra, de modo que el único campo magnético que haga reaccionar a una de esas agujas de brújula sea el producido por sus vecinas de la mesa.

Al principio, todas las agujas señalan direcciones al azar. El campo neto producido por todos los pequeños imanes orientados al azar tiene una media cero, porque los campos restan tanto como suman. Como no hay ningún campo magnético neto, si girásemos alrededor del plano donde se encuentre, no hallaríamos ninguna dirección norte-sur preferente. La situación física es, pues, rotatoriamente invariante, o simétrica.

   Ahora supongamos que conseguimos orientar un grupo de agujas imantadas de una región, de modo que señalen todas en la misma dirección, produciendo su propio campo magnético neto. Podemos conseguirlo introduciendo un fuerte campo magnético externo en esa zona y retirándolo luego. El campo magnético neto de todas esas agujas orientadas hará que todas las demás sigan la misma tónica y apunten en igual dirección. Se rompe así la simetría rotatoria original porque hay una dirección norte-sur preferida: la dirección del campo magnético neto. Además, esta nueva configuración de todas las agujas (esta simetría rotatoria rota) es claramente la estable. Si modificamos manualmente la orientación de una o dos agujas, volverán a su orientación original una vez liberadas. El ferroimán de Heisenberg ejemplifica las ideas básicas de ruptura de simetría espontánea: aunque el estado físico original sea simétrico, es inestable; el estado de simetría rota es estable.

Campo de Higgs:

   La idea medular de Higgs fue introducir un nuevo campo además del campo de medida, al que se denomina hoy «campo de Higgs»; carece de giro y tiene masa(hay versiones de este campo sin masa). La ventaja del campo de Higgs es que los físicos pueden utilizarlo matemáticamente para estudiar con gran detalle el proceso de ruptura de simetría. El campo de Higgs. es, en cierto modo, el «rompedor de simetría»: el campo magnético externo que fuerza a las agujas magnéticas a seguir una orientación común. Introduciendo adecuadamente el campo de Higgs se puede demostrar de forma matemática que la solución de la conservación de la simetría en las ecuaciones de campo es inestable: la simetría tiende a romperse, lo mismo que todas las agujas magnéticas quieren apuntar en la misma dirección.

La ruptura de simetría en el campo de Higgs afecta a los campos de medida de Yang-Mills, quebrando también su simetría perfecta. Los campos de Yang-Mills carecen todos de masa en la situación simétrica, pero al romperse la simetría de medida, algunos la adquieren.

En el caso del modelo electrodébil, estos cuantos de campo de medida de gran masa corresponden a las partículas W y Z descubiertas experimentalmente en 1983 en el CERN, laboratorio europeo de alta energía ubicado en Ginebra, Suiza. Poseen masas inmensas, de más de noventa veces la masa del protón, consecuencia de la simetría rota. Curiosamente, las masas comprobadas de las partículas W y Z se ajustaban, como ha venido sucediendo hasta ahora, a las predicciones de estas teorías, los teóricos de la física de partículas han gozado del placer de ver cumplirse en la naturaleza con tan bella perfección de las ideas matemáticas abstractas.

Entropia:

   Esto es simplemente la tendencia de todo en el Universo a enfriarse a un minimo de energia o temperatura, conocido como equilibrio termal. La ruta a esta segunda ley de termodinamica es via un incremento de desorden en la organizacion de energia y materia.

Los toros KAM: (Kolgomorov, Arnold, Moser)

   Son modelos geometricos que han sido usados para resolver problemas de muchos-cuerpos en fisica, como dinamica planetaria: ha sido sugerido que el sistema solar entero esta en un escenario de borde del Caos, como una entidad global espacio-temporal, permitiendo mientras tanto inestabilidades caoticas espacio-temporales locales, otra vez, conocidas como resonancias, las cuales podrian ser vistas como ajustes finos de la dinamica global (como los espacios orbitales entre los planetas, lunas y dentro de sistemas de anillos; o en la ejeccion periodica de asteroides de sus orbitas usuales.

Singularidad:

   Una singularidad de espacio-tiempo puede ser vista como una infinidad de eventos sub-cuanticos, estocasticos, hiper-caoticos; mientras que una singularidad matematica puede ser vista como una infinidad de iteraciones de una cierta estructura logica, la cual se aproxima a la infinidad con velocidad arbitraria.

El set de Cantor:

Es simplemente la igual division de una linea en tres partes, con el tercio del medio removido, descediendo en escala hasta infinitamente muchos intervalos de longitud finita.

Desarrollo:

   Pequeñas desviaciones iniciales en situaciones inestables, lejanas al equilibrio, pueden llevar a consecuencias masivas, hasta cosmologicas.

   Pensemos en entidades en la zona de transicion entre sistemas: ordenados, estables, en equilibrio (de entropia maxima), asimetricos, de baja energia, hacia el opuesto: sistemas "desordenados" (pero complejos) y caoticamente inestables (de entropia minima) de un estado altamente simetrico y enérgetico.

   Segun Ilya Prigogine, estos últimos sistemas mensionados: disipativos lejanos al equilibrio, minimizan localmente su produccion de entropia siendo abiertos a su entorno: la exportan, de hecho, mientras importan baja entropia. Globalmente, el incremento de entropia total se preserva de todos modos, con la importante añadidura de que dicho sistema disipativo por lo general experimenta un incremento transitorio (u optimizacion) de su propia complejidad, o sofisticacion interna, antes de eventualmente desaparecer nuevamente en el flujo.

   Esto ha sido denominado Emergencia, Maxima Complejidad, Criticalidad Autoorganizada, Autopoiesis, o el Borde del Caos (cabe aclarar que estos son terminos para esencialmente el mismo fenomeno).

   Las formas de vida, ecosistemas, clima global, tectonica de placas, mecanica celeste, economias humanas, historia y sociedades, y hasta la conciencia misma, todas manifiestan este proceso  reflexivo, regido por retroalimentacion; cada vez que son empujadas lejos de sus estados de equilibrio, maximizan sus capacidades adaptativas entrando a esta region de (maxima) complejidad al borde del Caos,  logrando asi incrementar su complejidad interna, entre ocasionales catastrofes.

   Remarcablemente, esta zona de transicion es matematicamente ocupada por la Proporcion Aurea. Esta proporcion (o razon) actua como un operador probabilistico optimizado, (una ecuacion diferencial como un switch binario oscilante [oscillating binary switch]), cada vez que observamos la quasi-periodica evolucion de un sistema dinamico. Parece, de hecho, ser la ruta optima: minimizadora de energia, hacia la region de maxima complejidad algoritmica, y ser una cuenca de atraccion para el borde mismo del Caos.

Materia estatica, precipitada, resultante de un flujo dinamico de energia, es el resultado de la forma en que la naturaleza minimiza el gasto de energia (produccion de entropia), conocido tambien como el: principio de minima accion.

Un medio de representar matematicamente este comportamiento parece ser analogo al comportamiento dinamico de la Proporcion Aurea.

   Todas las formas fractales, ya sean inertes (nubes, paisajes, cumulos de galaxias) o animados (plantas, animales), son copias autosimilares en escala de un original; sistemas caoticos (el clima, el sistema solar, el mercado de acciones) tambien poseen esta cualidad fractal, pero llevada al paradojico extremo de tener infinitas trayectorias dentro de un borde finito. Para producir estas formas, un regimen de retroalimentacion recursiva debe estar operando.

La Proporcion aurea, o Phi, para abreviar (como razon) deberia ser de naturaleza fractal. Por extension, parecia plausible que Phi pueda tambien estar inserta, como un atractor de algun tipo, en sistemas dinamicos con dimensiones superiores, dado que los sistemas dinamicos complejos siempre tienen una estructura temporal fractal mientras evolucionan en el tiempo.

Una pista importante en direccion a las recien mencionadas interpretaciones, es el hecho de que Phi es simultaneamente una expansion aritmetica y geometrica de si misma y de la Unidad de la forma mas sencilla posible. Esto inmediatamente la situa en las areas lineal (progresion aritmetica) y no-lineal (progresion geometrica), y como un puente efectivo, operando entre las dos.

Virtualmente cada aspecto de geometria fractal y tipo de sistema dinamico puede ser expresado por variaciones del simple operador cuadratico: X = X**2 + c   , que expresa el tipo de retroalimentacion particular examinado.
Phi,  por una variacion relacionada pero mas arquetipica, puede ser expresado como derivando la serie de numeros de Fibonacci, la cual incrementalmente gravita hacia una razon particular que posee cualidades únicas.
Por ejemplo, si uno disminuye Phi por la Unidad, uno deriva su reciproca.
Adicionalmente, Phi es la unica razon que cumple con:  1/Ø + 1/Ø**2 = 1  . En otras palabras, Phi es tambien la unica posible aritmetica y geometrica a la vez, expansion y particion de Uno, la Unidad.

   Las espirales logaritmicas son invariantes bajo rotacion, la cual solo replica una expansion. Dado que el logaritmo puede ser descompuesto en un exponente aritmetico y uno gemetrico, un aspecto dual lineal/no-lineal es tambien inevitable.

   La espiral consecuente tendra, por lo tanto, una longitud infinita y sera una descripcion geometrica de una ley de potencias, de invariancia de escalamiento, y de autosimilaridad. La espiral de Phi (como la ilustrada) tiene la ecuacion k = -(pi / 2) log phi, donde k es la cotangente de la tangente/radio angulo para la espiral, que es constante, y Phi como 0.618...

Phi media entre atractores finitos e infinitos, y permite co-dimensionalidad (variaciones en escala y dimension) infinitas y procesos reversibles/irreversibles en su accion (todas herramientas matematicas para investigar comportamientos naturales, y mejor pensados como estructuras logicas autoconsistentes expresadas en simbolos algebraicos o formas geometricas - en este caso operadores de renormalizacion, sistemas hamiltonianos y eigen-funciones).

Note que la base logaritmica e, i y pi se hallan en la siguiente relacion: e **(i pi) = -1. Lo lineal es reversible (y finito) mientras que lo no lineal no lo es (e infinito, siendo numericamente irracional). Phi es, de hecho, el irracional mas dificil de aproximar con numeros racionales, haciendolo el ultimo toro KAM en colapsar antes del advenimiento, o borde del Caos.

Esta quasi-periodica geometria toroide de Phi es paradojicamente, la mas estable (bajo perturbacion), a pesar de tambien estar en el borde del Caos.

Fisicos han sealado que operadores estocasticos del tipo Phi son mecanismos super-estables (los mas resistentes a perturbaciones) por los cuales sistemas simulados pueden evolucionar con creciente complejidad de estructura de informacion en el tiempo.

Esta estabilidad parece ser debida a sus optimizados escalamientos geometricos de si mismos y comienzan a confirmar a las ecuaciones involucrando a Phi, como relevantes dentro del estudio de sistemas dinamicos clasicos y tambien dentro del cuerpo mayor de la fisica cuantica y relativistica. Esta presencia aparece como la forma que mejor transciende la disipacion, y minimiza la energia: por lo tanto, fenomenos emergentes como solitones, funciones de onda, y curvaturas espacio-temporales, y todo lo que evoluciona de ellos, lo involucran.

Por lo tanto la dinamica de Phi deberia epitomizar el principio de minima accion como su imperativo, porque esta estabilidad optima deberia inevitablemente transformarse en atractor para minimizar produccion de entropia/corrupcion de energia: consecuentemente, con el comportamiento dinamico de Phi, la degradacion de informacion es minimizada, mientras que la complejidad del sistema es maximizada.

Phi  se ubica como la entidad matematica en la cuspide misma del Caos. Esto es, considerando su super-estabilidad y naturaleza atractiva, y renueva nuestro entendimiento de Phi en terminos  de sistemas dinamicos y de la inmanente accion de rotura de simetria de termodinamica.

El Set de Cantor, es la division de la Unidad en tres terminos, como opuesta a la division de la Unidad en dos terminos mediada por Phi. Subyace toda la dinamica Caotica, en concierto con la accion interruptora de Phi. Esto es porque tiene a la vez expansion binaria y terciaria, y porque tambien, contacta entre atractores finitos e infinitos.

Los sistemas Caoticos se comportan en una forma conocida como comportamiento ergodico,  entremezclando infinitas permutaciones. Esto puede ser una vez mas descripto como un operador binario Ø. Cuando examinamos un diagrama de Feigenbaum de sistemas doblando-periodo hacia Caos encontramos no solo que la Proporcion Aurea es un paradigma para todas las bifurcaciones en él (una bifurcacion es un evento de Periodo Dos, y Phi es el locus de comportamiento de Periodo Dos), sino que tambien, al borde del Caos, conocido como el Punto de Feigenbaum, el operador Phi produce un Set de Cantor infinito, pero con proporciones de Phi.

Este Set de Cantor de Phi es una singularidad matematica, analogo a una indecidible maquina de Turing. (Una abstraccion de una cadena de simbolos que expresa dinamica como una forma de retroalimentacion infinita de procesamiento de informacion computacional y reflexiva). Aqui en esta zona al borde del Caos, la entropia es minima comparada con la riqueza de informacion disponible; Ilya Prigogine describio comportamientos en esta region como "la minima produccion de entropia (minima perdida de energia), de sistemas disipativos lejanos al equilibrio", y puede ser vista como un tipico ejemplo del principio de minima accion, en operacion.

Las bandas de orden en el diagrama de Feigenbaum ocurren a una razon de escala fija (fixed scaling ratio), y corresponden exactamente a puntos fijos periodicos super-atractivos. Las bifurcaciones, nuevamente, implicitamente contienen a Phi. De hecho, todas las varias constantes universales encontradas en el diagrama de Feigenbaum son derivadas de la operacion de reescalamiento deterministica de la Proporcion Aurea. Asi es como Phi esta presente en los sistemas dinamicos, como un operador universal binario de interrupcion (universal binary shift operator), o eigenfuncion primaria.

El diagrama de Feigenbaum es tambien analogo al comportamiento de rotura de simetria del principio del Universo mientras iba perdiendo energia y simetria desde su estado inicial altamente simetrico, inestable, lejano al equilibrio. La diferencia critica es que tal rotura de energia representa perdida de energia, mientras que el diagrama de Feigenbaum describe la recuperacion de esta energia perdida, via el retorno a un estado mas simetrico, mas energetico, con menos equilibrio (y caotico).

El atractor extraño de Rossler (esencialmente una pintura arquetipica de un sistema Caotico en espacio de fases de 4 dimensiones, como una seccion a traves de un toro KAM) es usado para modelar sets autocataliticos, autoorganizados, lejanos al equilibrio, tal como el famoso set de reacciones quimicas de Belousov Zhabotinski. La autocatalisis es la clave para los procesos de la vida y sus condiciones iniciales y de evolucion porque ocurre al borde del Caos, donde existe la maxima adaptabilidad computacional para el sistema, y donde una morfologia emergente puede ser mejor autoorganizada y mantenida en el tiempo, a pesar de estar inmersa en constante flujo de su entorno. Las condiciones para que tal homeostasis ocurra son que para que las reacciones/entidades persistan, reactivos (energia/comida potencial o actual (de baja entropia)) deben ser constantemente añadidos desde ese entorno, y los desperdicios (alta entropia) retornados a él... si suena familiar, deberia: organismos unicelulares, sus colonias, sus parientes multicelulares, grupos de organismos, ecosistemas, nuestras civilizaciones humanas enteras, y la biosfera planetaria misma muestran versiones identicas a escala, de este comportamiento.

El atractor es un Set de Cantor en 4D, en el tiempo, y es otro medio de representar Phi en espacio de fases en el Punto de Feigenbaum, en el borde del Caos.

El plano Complejo puede ser homologado al mapeamiento de una esfera sobre un plano y es el resultado de la geometria curva de Riemann usada para modelar comportamiento relativistico y cuantico. Un cambio dimensional esta aqui implicito, ya que para cualquier triangulo inscripto en una superficie curva, sus angulos internos sumaran mas de 180 grados. Moverse de una dimension espacial a otra requiere de este tipo de operacion. La teorizacion de dimensiones superiores se cree simplifican las leyes fisicas hasta el punto en que una teoria unificada de todo uniendo lo relativo y lo cuantico parece ahora alcanzable, esas son las dimensiones superiores a que nos referimos.

Los numeros complejos tienen una componente real y una imaginaria, de forma tal de poder expresar coordenadas planares a dimensiones superiores, inferiores, o entre ellas, en una forma mas completa. Los numeros imaginarios, elevados al cuadrado, pueden aun dar negativos. Si nosotros entonces colocamos dos cuencas de atraccion (imagine un pendulo con dos imanes) en este plano, podriamos simular el comportamiento de Phi tanto a escalas cuanticas como relativisticas.

Sabemos que la Proporcion Aurea actua como una orbita super-atractiva entre dos puntos fijos repelentes.

De modo que si corremos iteraciones de la ecuacion del circulo, con c = -1 (-1 siendo i, el numero imaginario, al cuadrado), producimos un Set de Julia, un fractal en el plano complejo, para la Proporcion Aurea.

El Set de Mandelbrot es la enciclopedia de todos los Sets de Julia; ha sido llamado la entidad geometrica mas compleja jamas vista, es paradojico en que es una entidad finita con un borde infinito(esto me trae a la mente otra figura que puse en uno de mis informes), y tambien explicitamente confirma a Phi como de importancia critica en su morfologia.

Nuevamente, con c = -1, vemos a Phi como el origen super-atractivo del Disco Periodo Dos (Period Two Disk) del Set de Mandelbrot.

Geometricamente, estamos mirando a Sets con dos cuencas de atraccion: el set infinito "fugado" (escape)(fondo)(ground) y el set finito "prisionero".

   Iterando la ecuacion, da uno de estos dos resultados. Puntos graficados en la tierra del plano complejo en uno de estos sets, hasta escalas infinitas, y revelando infinitamente cambiantes detalles en sus bordes. Los bordes no son solo infinitos, e infinitamente complejos, sino que tambien contienen copias autosimilares, ligeramente mutadas del set global. este borde, por lo tanto, es el sitio de las inestabilidades entre los dos sets de figura y fondo (ground), el cual a su vez produce nuevas estructuras; es el locus de creatividad, mirado ya sea como una entidad estatica o como un sistema dinamico, y es una metafora apta para el comportamiento de los hallados en la naturaleza misma.

Si miramos de cerca al set Julia de Phi, podemos medir  1:1/Ø**2  en sus proporciones; exactamente la accion reciproca, cuadratica de Phi. El plano Complejo en si puede ser mapeado por un sistema analogo a fuerzas equipotenciales electromagneticas/gravitacionales y a lineas de campo. Cuando describimos el comportamiento de punto fijo del set Julia de Phi, vemos dos lineas de campo arribando al punto de torsion (como en el ejemplo del cono/spindle) para 1/Ø, representando un doblamiento de angulo desde 1/3 a 2/3 de 2pi. Ahora, doblar un angulo en el plano Complejo es equivalente a elevar al cuadrado en el plano Euclideano, y a una oscilacion del operador de interrupcion binario. Esta accion deberia asi confirmar el comportamiento de Phi como operador, aplicable tanto a los dominios cuanticos como relativistas (lineales y no-lineales) como, dentro de las escalas clasicas, al interior de  los sistemas dinamicos.

Note que el espacio-tiempo en si es fractal: curvo y no-lineal. Por ejemplo, la ley de inversa del cuadrado de fuerza gravitacional  versus distancia es un fractal simple, y por lo tanto una ley de potencia autosimilar. La gravedad es curvatura del espacio-tiempo, causada por masa/energia, sus manifolds son siempre atravesados en geodesicas de minima entropia, lineas de menor distancia; de nuevo, de la misma forma en que el agua fluye hacia los puntos mas bajos en un valle, minimizando asi su energia potencial gravitatoria).

Volviendo al Set de Mandelbrot Julia de Phi, vemos que los puntos fijos estan en el borde entre el set finito prisionero y el set infinito de escape, de hecho, en el borde del Caos. La Proporcion Aurea es, por lo tanto, intrinsecamente dinamica, su accion de perpetua oscilacion reciproca, exacta y unicamente replicando la dinamica del circulo unitario. El set de Julia de Phi, centrado en el origen de la dinamica de Periodo Dos, es el unico set que actua de esa manera.

Esto, de nuevo, significa que el comportamiento de Phi  parece operar a todas las escalas y en cualquier dimension, y confirma que cuando es infinitamente iterado, la orbita atractora es matematicamente mas estable para obtener una singularidad matematica. Los puntos fijos en si confirman la orbita entre los atractores finito (0) e infinito (-1). El atractor finito aqui es la orbita de periodo dos, analogo a un grafico de y = sin x . El atractor infinito es la misma orbita que el grafico correspondiente a la reciproca: y=sin(1/x) . Notablemente, estos graficos de simple movimiento armonico pueden ser usados para describir la curvatura del espacio-tiempo al aproximarse a la velocidad de la luz.

Uno podria arriesgar que el borde del Caos podria ser el proceso mismo global, dinamico, del  Universo mismo. Posibles ejemplos (algunos estaticos) son el hallar Phi en las proporciones  de la distribucion vascular, organizacion estructural,  y compactificacion espacial de organisms (todo lo cual hallamos), las simetrias de base cinco de la molecula de DNA (lo dicho), u otras permutaciones fisicas de los numeros de Fibonacci y sus complementos, los numeros de Lucas, o comportamiento autoorganizado de ley de potencias, en procesos dinamicos.

Los numeros de Fibonacci aparecen en varios analisis de la masa en reposo de las particulas elementales. Tambien en relaciones orbitales en el sistema solar (como el espacio principal entre los anillos de Saturno). Criticalidad autoorganizada tambien es revelada por el soliton de Jupiter (mejor conocido como la Gran Mancha Roja), o por el comportamiento dinamico del Sol, o por las espectrografias de emissiones de rayos-X de loa agujeros negros devorando materia de sus discos de acrecion. Quizas la no-localidad, las caracteristicas globales de la region del borde del Caos, dan una pista a una respuesta envolviendo reversibilidad temporal cuantica para la famosa paradoja EPR: relacionada a particulas elementales aparentemente en contacto mutuo sin demora de tiempo, y  pese a estar separadas por distancias cosmologicas.

Los toros KAM, que muestran la mayor estabilidad autoorganizada por la minima energia, al borde del Caos. Las complejas relaciones entre todos los toros (anidados) debido a las simetrias rotas de nuestro Universo minimizador de energia, en no equilibrio darian las varias resonancias, armonicos (y constantes) de nuestro mundo a cualquier escala. Las mismas reglas se aplicarian a Protoplasmas, Equilibrio Puntuado, Politica, el Mecanismo de Precios, etc. Universales.

Si comparamos el Set de Mandelbrot con el diagrama de Feigenbaum podemos ver como el Periodo uno cardioide del primero, corresponde exactamente con la trayectoria de equilibrio simple (with the single, equilibrium trajectory) del segundo. El Disco Periodo Dos con Phi como su centro super-atractivo, exactamente la primer bifurcacion, confirmando a Phi, geometricamente, como el paradigma para bifurcacion deterministica. Todas las subsecuentes bandas de orden en el ultimo (que ocurren a una razon fija de escala (fixed scaling ratio) derivada de la accion de Phi), encajan precisamente con los micro Sets de Mandelbrot a lo largo del eje horizontal, de numeros reales del Set.

Esta evidencia geometrica define a Phi, entonces, como el optimo operador oscilante que media entre sistemas ordenados, en equilibrio, y desordenados, en desequilibrio. Permite una orbita oscilante, acceder a las infinitamente fecundas morfologias de chance del Caos, recapitularlas de nuevo en su orbita causal super-estable: y permite por lo tanto crecimiento de sistemas y morfologia. Es el paradigma para evolucion de sistemas: para la emergencia de complejidades globales, causales desde simples chances locales, para evolucion de abajo-arriba (bottom-up) basado en jerarquias de creciente sofisticacion, ellas mismas involucradas en continua retroalimentacion, catastrofes y estabilidades transitorias. Para el comportamiento de Phi, entonces, chance y causalidad, Caos y Cosmos (desorden y orden), estan en tension de un equilibrio dinamico; un equilibrio que crea lo inesperado y lo emergente, con lo cual cada jerarquia de simetria rota, da morfologias transientes a menudo de creciente complejidad.(ya releí y compaginé esto varias veces, y este último párrafo me sigue emocionando... me recuerda a algo que imaginé cuando me enteré por primera vez del campo de Higgs, que me parece análogo a phi). 

La Proporcion Aurea entonces representa orden deterministico global, como un sistema iterado de doblamiento de periodo (bifurcante/rompedor de simetria), pero en el tiempo, tambien permite Caos local, estocastico, caos que puede, cuando el sistema esta lo suficientemente lejos del equilibrio, tambien crear (como un fractal, copia "fantasma" autosimilar de la condicion original, el mismo no- equilibrado Big Bang.

Dado que el pasaje de uno a otro esta gobernado por la segunda ley de termodinamica, responsable por los procesos irreversibles (mas alla de mundo cuantico reversible y lineal), esto tambien convierte al comportamiento de Phi en el operador optimo tanto para reversibilidad lineal como para irreversibilidad no lineal. Para que un sistema alcance maxima complejidad al aumentar la entropia (algo progresivamente mas dificil al subir en escala desde el mundo cuantico reversible y lineal), la forma optima de evitar cada vez mas resonancias (interferencias) e inestabilidades, es preservar una trayectoria Media de minima entropia. La Proporcion Aurea, en efecto, permite un fractal infinito (el Set de Cantor mencionado anteriormente) usar la creatividad del Caos, para uso del orden.

Varias simulaciones de automatas celulares (matrices heuristicas de puntos) pueden tambien confirmar la accion evolucionadora de mejoramiento estructural en los sistemas con Phi, al punto en que investigadores ven este comportamiento de interruptor binario (binary-switching) como un blanco inevitable para la seleccion natural.

Investigadores, ubican las regiones de maxima complejidad, islas de puntos estables rodeadas de
otros cambiando caoticamente ("centros congelados" (frozen cores), en su terminologia), en la region del borde.

Redes Booleanas NK, muestran a Phi en accion nuevamente: esta vez en silicio, aparte del en vivo de la realidad. Su trabajo se extiende a ecosistemas enteros, e incluye los reinos de paisajes de aptitud y temple simulados, donde  estrategias robustas, minimizadoras de energia mejoradoras de aptitud, revelan relaciones profundas entre ecologia y economia.
Otras areas como fisica de plasma y de disipacion cuantica, sistemas dinamicos, dimension fractal y simulaciones de ecosistemas, todas citan a Phi como un atractor invariante con alguno o todos de los comportamientos mencionados.

El fisico Per Bak modela simulaciones en donde observa doblamientos reciprocos, comportamientos de ley de potencias (reciprocal squaring, power-law behaviour). Esta ley esta en todos lados en la naturaleza: avalanchas de arena, intensidad de terremotos por frecuencia, patrones de disparo de neuronas durante conciencia, bolsa de valores, mecanica celeste, agujeros negros, etc. (como vemos, complejidad parece subyacer a casi todo, ya sea vivo o inerte, natural, metabolico, o cultural, y a toda escala). esta ley tambien es autosimilar, y se nota la accion de Phi en ella.

En la teoria de numeros del problema NP y del Omega de Chaitin. Phi se presenta aqui como un oscilador optimo en equilibrio dinamico entre decremento de entropia (trasmision de informacion) e incremento de entropia (almacenamiento de informacion), sosteniendo maxima complejidad en una computacion, en el tiempo.
En terminos de tirar monedas (interruptor binario estocastico 50/50), Omega parece ser analogo a la dinamica de Phi en el punto de Feigenbaum. Los problemas NP son intratables, no computables, indecidibles, y capaces de parar una maquina de Turing, lo cual lleva al Teorema de Godel.
Teoria de numeros tambien confirma a Phi  como en la cuspide misma de caos, pero tambien lo cuantico, via la funcion zeta de Riemann en disipacion cuantica.

Phi reside en la zona optima de transicion: entre la causalidad de las ramas de bifurcacion, y la chance de los puntos de bifurcacion.

El límite entre la causalidad y el libre albedrío.

Un flujo entre orden y caos, sin mucho de ningun extremo, es la clave para cualquier acto de adaptatividad evolucionaria y/o homeostasis.
La conciencia misma puede ser una forma optima de procesamiento de informacion adaptativa. En un paso mas, se teoriza que puede estar basada en el switching cuantico de electrones individuales en switches como los atenuadores de luces (dimmer "switches" como los 300 de los que fabriqué hace años, y tengo sin vender en una caja).

Nota:

de acuerdo a Roger Penrose:

El doblamiento de angulo es tambien el elevamiento al cuadrado del modulo para el "colapso de la funcion de onda" en el problema de la medicion, para la ecuacion de Schrodinger en mecanica cuantica. Aqui es cuando la ecuacion cambia probabilisticamente de la linealidad de la reversibilidad a la no-linealidad de la irreversibilidad. Esta ecuacion es esencialmente un eigen operador/funcion que colapsa (o cambia) al ser expuesta a masas/energias externas (curvatura del espaciotiempo) de suficiente intensidad. Reescalar hacia arriba tambien logra lo mismo (la entropia tambien se incrementa con la escala), y es un enlace potencial a una correcta teoria de gravitacion cuantica (uniendo relatividad general con mecanica cuantica).