Tenemos la ecuación y

Mas allá de estatica y estado, mas como dinámica y proceso: como tensión, como paradoja, como una unidad dinamica de opuestos (finito e infinito), fusionando lo lineal con lo no-lineal, lo ordenado con lo random - y causalidad con chance, para crear lo emergente e inesperado.

Phi matematicamente describe el comportamiento de la naturaleza en al menos tres grandes modelos idealizados:
Primero: La estabilidad final de los toros KAM quasi-periodicos, justo antes del colapso en el caos.
Segundo: Los comportamientos universales, Set de Cantor de Phi en el punto de Feigenbaum y relaciones constantes de escala del doblamiento de periodo del diagrama de Feigenbaum.
Tercero: Los comportamientos de automatas celulares, mostrando estructuras transitorias extendidas quasi-periodicas de periodo dos, en la zona liquida de transicion de fase.

-El Set de Mandelbrot es el icono geometrico que une a los tres en forma lapidaria, pero las ecuaciones que lo generan cuentan la misma historia.

Alguien, hace bastante tiempo, aparentemente se propuso encontrar proporcionalidad idéntica encajada.

Lo mas simple para ver ésto, es exijirle a un segmento de una unidad de largo, con una división interna: que su segmento menor sea al segmento mayor, como el mayor a la totalidad. Proporcionalidad similar anidada.

Una de las soluciones de esta ecuación de segundo grado(la solución positiva) es:

En lugar de cuanto menor es uno del otro, podemos calcular cuanto mayor es uno del otro:

Es decir, resolver la cuestión de tener proporción similar encajada(Proporción Aurea), nos

Número designado con letra griega

(Fi ó phi), llamado así por ser la inicial del nombre del escultor griego Fidias que lo tuvo presente en sus obras. (Y que es igual al módulo de solución negativa de la ec. de segundo grado)

Con la tabla, vi como la sucesión de Fibonacci va para el lado negativo también, de ella se destacan las relaciones siguientes(la última es broma, pero es...):

Si dividimos dos términos consecutivos de la sucesión, siempre el mayor entre el menor:

Número de Fibonacci	Cociente
1	-
1	1
2	2
3	1,5
5	1,667
8	1,6
13	1,625
21	1,615
34	1,619
55	1,617
89	1,618181
144	1,617977
233	1,618055
377	1,618025
610	1,618037
987	1,618032

Al tomar más términos de la sucesión y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. En lenguaje matemático:

Y también, una de las soluciones de esta nueva cuadrática, es nuestro número de oro

Si uno desea comprobar esto con números de Fibonacci muy grandes, deberá obtenerlos así:

Tenemos la ecuación y(n) - y(n-1) - y(n-2) = 0 con las dos condiciones iniciales y(1) = y(2) = 1.

La ecuación se puede resolver usando los métodos conocidos. Los pasos serían:

En triángulos, pentágonos, en trigonometría, geometría y sobre todo en la Naturaleza, abundan los ejemplos de la presencia del número de oro.

Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del rectángulo.

Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale

por lo que la proporción entre los dos lados es

(nuestro número de oro).

Una propiedad importante de los rectángulos áureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el vértice C.

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Una correspondencia aún más notable es el hecho de que los números de la serie de Fibonacci y la espiral logarítmica ocurran frecuentemente en la naturaleza. El ejemplo más notorio es la filotaxia espiral de ciertas plantas y se refiere a la ordenación de sus hojas de manera helicoidal como consecuencia del desarrollo de las hojas que brotan una a una y crecen donde el espacio disponible entre ellas es mayor. La filotaxia se representa por una fracción en la cual el numerador es el número de vueltas alrededor del tallo y el denominador el número de hojas, ramas o espinas en ese recorrido. En todos los casos estos números son términos de las serie de Fibonacci. Además, el número de pétalos en las flores suele ser miembro de la serie: lila (3), ranúnculo (5), espuela (8), caléndula (13), aster (21) y varios tipos de margaritas (34, 55, 89). La espiral logarítmica se encuentra, además de las espirales de la filotaxia, en las conchas de los caracoles o los retorcidos cuernos de animales. Pero no sólo en las formas de los seres vivos se han hallado series de Fibonacci: los astrónomos se han percatado de que los eclipses tienen pautas de repetición cada 6, 41, 47, 88,135, 223 y 358 años, secuencia que corresponde a una serie de Lucas(del tipo de la de Fibonacci).

Douglas Hofstadter considera al par inicial (1, 1 para la serie de Fibonacci y 2,1 llamándola la de Lucas) como el genotipo del cual surge el fenotipo, que es toda la secuencia, una ingeniosa analogía del proceso mediante el cual un conjunto de genes (genotipo) origina una característica física o conductual de los seres vivos (fenotipo).

Kepler y razones en las orbitas planetarias Platonicas, Hambridge y su simetria dinamica.

Phi es la unica razon que cumple con: 1/Ø + 1/Ø**2 = 1 . En otras palabras, Phi es tambien la unica posible aritmetica y geometrica a la vez, expansion y particion de Uno, la Unidad.